D r . T O U B A M . M
Electrical Engineering Depatment - University of BISKRA - ALGERIA
Analyse des Systèmes Non Linéaires
Objectifs de l’enseignement :
L'objectif de ce cours est : de sensibiliser les étudiants aux problèmes de stabilité des systèmes non linéaires et de leur fournir des outils mathématiques d'analyse, d'introduire des méthodes de commandes non linéaires comme les techniques fondées sur la géométrie différentielle et l'approche par les modes glissants. Les méthodologies présentées font appel aussi bien aux représentations temporelles qu'aux représentations fréquentielles
CONTENU DU MODULE
Chapitre 1. Introduction ( 01 Semaine )
Non linéarité statiques et Points d’Equilibres, exemples des systèmes non linéaires.
Le pendule simple. L'oscillateur électrique non linéaire. Les cycles limites. Orbites chaotiques. Le pendule chaotique. Le pendule polaire. La grue.
Chapitre 2 . Plan de phase (03 Semaines)
Systèmes du second ordre. Construction du portrait de phase. Elimination du temps implicite / explicite. Méthode des isoclines. Oscillateur de Van der Pol. Rappel systèmes linéaires : charactérisation des orbites par les valeures propres. Index des points singuliers. Le théorème de l'index. Le théorème de Poincaré-Bendixson. La condition de Bendixson.
Chapitre 3. Méthode du premier harmonique ( 03 Semaines )
Hypothèses. Décomposition en harmoniques. Equivalent du premier harmonique. Non-linéarités communes. Saturation. Zone morte. Relais. Hystérèse. Système et régulateur linéaires. Critère de Nyquist. Gain complexe supplémentaire. Critère de Nyquist modifié. Estimation des paramètres du cycle limite. Equivalent indépenant de la fréquence. Fiabilité de l'analyse par le premier harmonique.
Chapitre 4. Fondements de la théorie de Lyapunov ( 02 Semaines )
Stabilité : définition intuitive. Notion de distance. Stabilité: définition formelle. Stabilité asymptotique. Méthode directe de Lyapunov. Fonction définie positive. Fonction de Lyapunov. Exemple: robot. Théorème de stabilité locale. Stabilité exponentielle. Stabilité globale. Fonction de Lyapunov pour les systèmes linéaires. Stabilité locale et linéarisation. Inconvénients de la méthode indirecte. Théorème d'invariance de LaSalle. Méthode de Krasovskii. Méthode du gradient variable. Instabilité et le théorème de Chetaev.
Chapitre 5. Théorie de la Passivité ( 02 Semaines )
Intuition. Système statique. Fonction de stockage. Connection parallèle / série / par feedback. Passivité et système linéaires SISO. Système réel positif. Lien entre Lyapunov et système réel positif. Théorème de Kalman-Yakubovich-Popov. Stabilité absolue. Conjecture d'Aizerman. Critère du cercle. Critère de Popov.
Chapitre 6. Notion de géométrie différentielle ( 03 Semaines )
Champ de vecteur. Espace dual. Covecteur. Le gradient vu comme un champ de covecteurs. Dérivée de Lie. Crochet de Lie. Difféomorphisme. Le théorème de Frobenius. Famille involutive. Conditions de linéarisation. Retour à l'exemple du robot à joint flexible.
Chapitre 7. Commande de systèmes non-linéaires ( 03 Semaines )
1. Généralités
2. Commande par linéarisation
3. Commande par modes glissants
Mode d’évaluation :
Contrôle continu : 40% ; Examen : 60%
Cours Trvaux Dirigés Trvaux Pratiques
Correction de l'examen final Résultats du module
Références bibliographiques :
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Ph. Müllhaupt, Introduction à l'analyse et à la commande des systèmes non linéaires, PPUR, 2009.
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RASVAN Vladimir, STEFAN Radu, Systèmes non linéaires : théorie et applications, Lavoisier, 2007.
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Khalil, H.K., 'Nonlinear systems', Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980.
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Utkin, V.I., 'Sliding modes and their application to variable structure systems', MIR Publishers, 1978.